Если ваш iPhone без джейлбрейка, то существует только один вариант скопировать SMS на компьютер. Сделайте скриншоты экрана с сообщениями (одновременное нажатие кнопки Power и Home), а затем перенесите их на компьютер. Это не самый удобный способ, особенно, если нужно скопировать большое количество сообщений.
Для телефонов с джейлбрейком есть способ поинтереснее, хотя потребуется скачать и установить две программы, чтобы добиться цели. Первую программу DiscAid можно загрузить по адресу http://www.digidna.net/products/diskaid, а вторую SQLite Database Browser по адресу http://sourceforge.net/projects/sqlitebrowser/files/sqlitebrowser/1.3.
Теперь можно открыть получившийся файл, и прочесть свои сообщения на компьютере.