В глубокую миску влейте стакан теплой воды. Вбейте одно яйцо, добавьте сахар и соль, всыпьте просеянную через сито муку и добавьте одну чайную ложку сухих дрожжей. Тщательно перемешайте. Вымесите упругое гладкое тесто. Накройте и оставьте в теплом месте на один час. За это время объем теста должен увеличиться в два раза. Тесто необходимо обмять и оставить на 30 минут.
Приготовьте начинку. Натрите на крупной терке сыр, добавьте два яйца. Если сулугуни не соленый, добавьте немного соли. Тщательно перемешайте.
Тесто еще раз нужно обмять и разрезать на пять равных частей. Каждую часть раскатайте скалкой, придав лепешкам большую овальную форму. Выложите на каждый овал равное количество сырной начинки, оставив незанятыми края шириной около четырех сантиметров. Разровняйте поверхность. Заверните края теста вверх так, чтобы получилось что-то наподобие лодочек. Смажьте хачапури яйцом.
Разогрейте духовку до 200 градусов. Поместите хачапури на противень, смазанный маслом, и выпекайте 30 минут. Переставьте противень с поджаренными хачапури на стол, вбейте в середину каждого по одному яйцу и верните обратно в духовку. Когда белок побелеет, достаньте пироги. Подавайте горячими, сверху положив по небольшому кусочку сливочного масла.